Evaluation d'une politique de messagerie

Ce document rapporte un exemple d'application de certaines proprietés  de l'agèbre des ensembles (inclusion, complément, intersection, loi de Morgan) pour organiser l'extention d'un service de messagerie.

Problème

Un publicitaire M projette de s'adresser à 3 journaux α, β, et γ plutôt qu'à un seul jounal pour distribuer ses annonces publicitaires, afin de s'assurer une plus large audience.

Le service de presse de chaque journal lui a fait connaître les noms de ses lecteurs, soit A l'ensemble des personnes qui lisent le journal α, B l'ensemble des personnes qui lisent le journal β, et C l'ensemble de personnes qui lisent le journal γ. Sachant que a = Card A = 1000, b = Card B = 2000, c = Card C = 3000, M en avait déduit qu'il pouvait compter sur n = a + b + c. = 6000 lecteurs.

Mais une analyse comparative des noms des lecteurs de chaque journal lui a appris que certaines personnes reçoivent 2 ou 3 journaux. M découvre ainsi que 500 personnes reçoivent les journaux α et β, 1000 personnes reçoivent les journaux β et γ, 1000 personnes reçoivent les journaux α et γ, et 500 personnes reçoivent les 3 journaux α, β, et γ. M peut donc écrire : d = Card(A∩B) = 1500 , e = Card(B∩C) = 1000, f = Card(A∩C) = 1000, et g = Card(A∩B∩C) = 500.

Le nombre réel de personnes informés est donc le nombre de personnes qui lisent au moins un des trois journaux, ce qui s'écrit : n = Card (A∪B∪C). Comment calculer n ?

Méthode

On sait que Card ( A∪B) = Card A + Car B – Card ( A∩B) (cf. Lois de Morgan)

Comme la réunion est associative, on peut écrire : Card (A∪B∪C) = Card ((A∪B) ∪C)

Donc n = Card ((A∪B) ∪C) = Card ( A∪B) + Card C – Card ((A∪B) ∩C)

i.e. n= somme du nombre de celles qui lisent au moins α ou β

          et du nombre de celles qui lisent au moins γ,

          diminuée du nombre de personnes qui lisent au moins α ou β et le journal γ.

Card C = nombre de personnes qui lisent au moins le journal γ (3000)

Card ( A∪B) =nombre de personnes qui lisent au moins α ou β

=Card A + Card B - Card ( A∩B)

=1000 + 2000 – 1500 = 1500

Card ((A∪B) ∩C) = nb de personnes qui lisent au moins α ou β et aussi le journal γ.

Comme l'union est distributive : (A∪B) ∩C = (A∩C) ∪(B∩C)

Donc Card ((A∪B) ∩C) = Card (A∩C)∪(B∩C))

= Card (A∩C) + Card (B∩C) – Card (A∩C) ∩(B∩C)

= Card (A∩C) + Card (B∩C) – Card (A∩B∩C)

= 1000 + 1000 – 500

= 1500

Résultats

En définitive, n = 3000 + 1500 – 1500 = 3000 lecteurs.