Probabilité d'un événement

Dans ce cadre, nous distinguerons 2 cas : (1) le cas des événement indépendants et (2) le cas des événements dépendants.

1. Evénements indépendants

Définition

Formellement, en mathématiques, l'événement attendu ( A) –celui des cas favorables – est vu comme un sous-ensemble de l'ensemble des cas possibles (noté Ω qui représente toutes les éventualités supposées également vraissemblables). La probabilité d'occurence de A se définit comme : P_A ou p(A) = Card. A / Card. Ω.

La probabilité d'un événement A, notée P_A, associe donc une valeur entre 0 et 1 au fait que l'événement A se réalise. Lorsque P_A = 1 l'événement est dit certain. Si P_A = 0, A est dit impossible.

Deux événements aléatoires sont dits indépendants si le fait de connaître la probabilité du premier événement n'influe pas sur la probabilité du second et inversement (tirage avec remise en jeu). Par exemple, la probabilité d'obtenir un as à un premier jeté de dé et d'obtenir un as au deuxième jeté de dé est la multiplication des deux probabilités et vaut 1/36.

Lors d'une expérience aléatoire, si toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit qu'il ya équiprobabilité – i.e. que les issues sont équiprobables. Exemple: On lance un dé cubique. L'univers des issues est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; Card.Ω=6; Card.{1}= Card.{2}=1 ; Card.{3}=1; Card.{4}=1; Card.{5}=1; Card.{6}=1; Donc p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6.

Exemple 1: On lance un dé cubique. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 ? L'univers des issues est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; Card.Ω=6; Card{6}=1; Donc p(6)=1/6.

Exemple 2: On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir une dame de Trèfle (D♣) ? L'univers des issues est Ω = { 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, V♣, D♣, R♣, A♣, id pique, cœur, Carreau}. Card.Ω=32; Card{D♣}=1; Donc p(D♣)=1/32.

Exemple 3: On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir une dame (D) ? L'univers des issues est Ω = { 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, V♣, D♣, R♣, A♣, id pique, cœur, Carreau}. Card.Ω=32; Card{D}=4, avec D={D♣, Dp, Dc, DC}; Donc p(D♣)=4/32=1/8.

NB : Card. Ω comme Card A peuvent correspondre au nombre de permutations des n éléments de Ω ou A (Per _n), ou au nombre de combinaisans de p éléments parmi les n éléments de Ω ou A (C_n^p), ou au nombre d'arrangement de p éléments parmi les n éléments de Ω ou A (A_n^p) , selon les problèmes.

Permutations : Per _n = n! n! = factorielle de n = n*(n-1)*(n-2)*... 3*2*1.

Combinaisons : C _n^p = n!/(p!*(n-p)!) ; propriétés : C _n^p = C _n^n-p ; C _n^p = C _n-1^p + C _n-1^p-1

Arrangements : A _n^p = n!/(n-p)! ; propriété : A _n^p = p !*C _n^p

Propriétés des probabilités composées

Lors d'une expérience aléatoire à événements équiprobables, la probabilité d'un événement quelconque ? de se réaliser est égale à la somme des probabilités de toutes les issues possibles, soit P(?)=1.

Lors d’une expérience aléatoire, la probabilité de l’événement contraire à A p(CA) = 1 − p(A).

.

Réunion de 2 événements indépendants

On appelle réunion de deux événements A et B indépendants, et on note A∪B, l’événement formé de toutes les issues de A et de toutes les issues de B. Ce qui signifie qu'on accepte «l’un OU l’autre des 2 événements» sans exclusive, c’est-à-dire qu’on accepte que les deux événements soient éventuellement réalisés. Lors d’une expérience aléatoire, la réunion de deux événements A et

B vérifie : p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B).

Exemple 4: On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir « une dame (D) ou un Trèfle » : p(D∪Trèfle) ? Cet événement sera réalisé dès que l’une des issues de D ou de Trèfle sera réalisée. On peut donc le représenter par l‘ensemble de toutes les issues de D et de toutes les issues de Trèfle : p(D∪Trèfle)  = p(D)+p(Trèfle)-p(D∩Trèfle)

L'univers des issues est Ω={ 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, V♣, D♣, R♣, A♣, id pique, cœur, carreau} Card.Ω=32.

Card{D}=4, avec D={D♣, Dp, Dc, DC};Donc p(D♣)=4/32=1/8 ;

Card{Trèfle}=8, avec Trèfle={7♣, 8♣, 9♣, 10♣, V♣, D♣, R♣, A♣}. Donc p(Trèfle)=8/32=1/4;

Card (D∩Trèfle)=1 avec D∩Trèfle={D♣} ; Donc p(D∩Trèfle) =1/32 et p(D∪Trèfle) =11/32.

Intersection de 2 événements indépendants

On appelle intersection de deux événements A et B indépendants, et on note A∩B, l’événement formé de toutes les issues communes à A ET à B. Lors d’une expérience aléatoire, la probabilité de deux événements A et B indépendants vérifie : p(A∩B) = p(A)*p(B)

Exemple 6: On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir une Figure et un Trèfle : p(F∩Trèfle) ?

L'univers des issues est Ω = { 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, V♣, D♣, R♣, A♣, id pique, cœur, Carreau}. Card.Ω=32; Card{FTrèfle}=3; avec F={V♣,D♣,R♣};Donc p(FTrèfle)=3/32.

En résumé (Tableau1)

Exercice 1

Dans une boîte se trouvent une boule blanche, deux boules rouges, et deux boules

noires.On tire une boule au hasard dans la boîte, on la remet, et on en tire au hasard une

deuxième. On s’intéresse aux deux couleurs tirées, dans l’ordre.

1.Déterminer l’univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.

2.Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur (événement D) ?

3.Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule noire (événement N) ?

4.Quelle est la probabilité des événements D, N, DnN et D?N ?

5.Les décrire par une phrase

On peut considérer que cette expérience aléatoire est la succession de deux étapes, tirage de la première boule puis tirage de la seconde. On peut donc construire l'arbre des événements.

Pour le premier tirage, puisqu’on tire au hasard une boule parmi les cinq, chaque boule a la même probabilité d’être tirée, donc 1/5= 0,2.

Comme il n’y a qu’une boule blanche, la probabilité d’avoir une boule blanche est 1/5= 0,2.

Comme il y a deux boules rouges, la probabilité d’avoir une boule rouge est 2/5= 0,4.

Comme il y a deux boules noires, la probabilité d’avoir une boule noire est 2/5= 0,4.

Pour le deuxième tirage, puisqu'on remet la boule tirée,on a exactement la même chose.

2.L’événement « tirer deux boules de même couleur » est constitué des issues (B, B), (R, R) et (N, N). On a donc : p(D) = p(B, B)+p(R, R)+p(N, N) = 1/25 + 4/25 + 4/25 = 0,04 + 0,16 + 0,16 = 0, 36.

3 L’événement « tirer au moins une boule noire » est constitué des issues (B, N),(R, N) , (N, B) , (N, R) et (N, N). On a donc : p(N) = p(B, N)+p(R, N)+p(N, B)+p(N, R)+p(N, N).=

0,08 + 0,16 + 0,08 + 0,16 + 0,16 = 0,64

4 L’événement CD est l’événement contraire de D. On a donc :p(CD) = 1-p(D) = 1- 0, 36 = 0,64.

L’événement CN est l’événement contraire de N. On a donc : p(CN) = 1-p(N) = 1- 0,64 = 0, 36.

L’événement DnN est constitué de la seule issue (N, N). On a donc : p(D∩N) = p(N, N) = 0,16.

Pour l’événement D∪N on peut chercher les issues qui le composent ou utiliser la formule :

p(A∪B) = p(A)+p(B)-p(A∩B).

Ce qui nous donne : p(D∪N) = p(D)+p(N)-p(D∩N) = 0, 36 + 0,64 - 0,16 = 0,84.

5 L’événement CD – contraire de D, peut se décrire par :« tirer deux boules de couleur différente ».

L’événement CN -- contraire de N, peut se décrire par : « ne tirer aucune boule noire ».

L’événement D∩N – intersection de D et N, peut se décrire par : « tirer deux boules de même couleur ET tirer au moins une noire ». On voit bien que cela revient à « tirer deux boules noires ».

L’événement D∪N – réunion de D et N, peut se décrire par : « tirer deux boules de même couleur OU tirer au moins une noire ».

Exercice 2

Dans un jeu de plateau, les combats sont réglés en lançant deux dés : le dé N°1 a quatre faces, une rouge, une jaune, une bleue et une noire; le dé N°2 a six faces, une rouge, deux jaunes et trois noires.

Le joueur qui lance les dés gagne le combat s’il obtient deux faces rouges, fait match nul s’il obtient deux faces de même couleur autre que rouge, et perd le combat dans tous les autres cas.

On suppose les dés bien équilibrés.

1.Décrire l’univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.

Quelle est la probabilité que le joueur gagne le combat (événement noté G) ?
2.Quelle est la probabilité que le joueur fasse match nul (événement noté Nul) ?

3.Quelle est la probabilité d’avoir au moins une face jaune (événement noté J) ?

Au moins une face bleue (événement noté B) ?

4.Quelle est la probabilité des événements Nul∩J et Nul∪J ?

5.Quelle est la probabilité des événements G∩J et G∪J ?

6.Quelle est la probabilité des événements Nul∩B et Nul∪B ?

1.Pour déterminer l’univers, on peut faire un tableau à double entrée représentant tous les cas de

couleurs possibles pour les deux dés :

Les différentes issues possibles ne sont pas équiprobables.

Pour le Dé n°1, chaque face a la même probabilité de sortir, et comme il y a quatre faces, chacune a pour probabilité ¼. Il en est de même pour chaque couleur, puisque chaque face a une couleur différente.

Pour le Dé n°2, chaque face a la même probabilité de sortir, et comme il y a six faces, chacune a pour probabilité 1/6. Mais il n’en est pas de même pour chaque couleur, puisque plusieurs faces ont une même couleur.

Le Rouge n’est que sur une face, donc sa probabilité de sortir est 1/6

Le Jaune est sur deux faces, donc sa probabilité de sortir est 2/6=1/3

Le Noir est sur trois faces, donc sa probabilité de sortir est 3/6=1/2

Le joueur gagne le combat s’il obtient deux faces rouges. On a donc : p(G) = p(R, R) = 1/24

2 L’événement « faire match nul » est constitué des issues (J, J) et (N, N). On a donc :

p(Nul) = p(J, J)+p(N, N) = 2/24+3/24=5/24

3 L’événement « avoir au moins une face jaune » est constitué des issues (R, J), (J, R), (J, J), (J, N), (B, J) et (N, J). On a donc : p(J) = p(R, J)+p(J, R)+p(J, J)+p(J, N)+p(B, J)+p (N, J)

= 1/24 +2/24 +2/24 +2/24 +2/24 +3/24 =1/2

L’événement « avoir au moins une face bleue » est constitué des issues (B, R), (B, J), et (B, N). On a donc : p(B) = p(B, R)+p(B, J)+p(B, N) = 1/24+2/24+3/24=1/4

4 L’événement Nul∩J est constitué de la seule issue (J, J). On a donc : p(Nul∩J) = p(J, J) = 2/24

Pour l’événement Nul∪J on peut utiliser la formule : p(A∪B) = p(A)+p(B)-p(A∩B). Ce qui donne : p(Nul∪J) = p(Nul)+p(J)-p(Nul∩J) = 5/24 + ½ – 2/24 = 5/8

5 L’événement GnJ est vide, puisque pour gagner il faut deux faces rouges. On a donc : p(G∩J) = 0.

Pour l’événement G∩J on peut chercher les issues qui le composent ou utiliser la formule :

p(A∪B) = p(A)+p(B)-p(A∩B). Ce qui donne : p(G∪J) = p(G)+p(J)-p(G∩J) =1/24 + 1/2 – 0 = 13/24

6 L’événement Nul∩B est vide puisque pour faire match nul il faut deux faces de même couleur, et qu’il n’y a pas de face bleue sur le Dé n°2. On a donc :p(Nul∩B) = 0. Pour l’événement Nul∪B on peut chercher les issues qui le composent ou utiliser la formule : p(A∪B) = p(A)+p(B)-p(A∩B).

Ce qui nous donne : p(Nul∪B) = p(Nul)+p(B)-p(Nul∩B) = 5/24 + ¼ – 0 = 11/24

2. Evénements dépendants : probabilités conditionnelles. inférence bayesienne

L'inférence bayésienne consiste à déduire la probabilité d'un événement E à partir de celles d'autres événements déjà évalués (A,B...). Elle s'appuie principalement sur le théorème de Bayes.

Soient deux événements A et E avec A un événement de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de E par rapport à A appelée aussi probabilité conditionnelle de E sachant A, la probabilité -- notée p(E|A) ou p(E/A) -- est calculée comme suit : p(E/A) = p(A∩E) / p(A). Conséquences : p(A∩E) = p(E/A)*p(A) = p(A/E)*p(E)

Soit plus généralement (formule de Bayes):

Exemple1

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir une Figure noire, i.e. p(F∩Noire) ?

L'univers des issues est Ω = { 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, V♣, D♣, R♣, A♣, id pique, cœur, Carreau}. Card.Ω=32.

L'ensemble des cas favorable (F|N) est A = {V♣, D♣, R♣, V♠, D♠, R♠}, avec Card. A = 6.

p(A) = p(F∩Noire) = p(F) * p(Noire|F), avec :

Evénement F = la carte est une Figure ; donc Card{F} = 12 ; donc p(F) = 12/32 = 3/8

Evénement Noire|F = la carte étant une Figure, elle est Noire ; donc  p(Noire|F) = 6/12 = 1/2

Donc p(F∩Noire) = 3/8 * ½ = 3/16..

Exemple2

Au sein de la société S, 20% des employés ont un diplôme en gestion, parmi eux 70% ont des postes de cadres. Cependant parmi ceux qui n‘ont pas de diplômes en gestion, 15% occupent un poste de cadre. Si un cadre est sélectionné au hasard, quelle est la probabilité qu‘il soit un diplômé en gestion ?

Cet énoncé peut s'écrire :

p(E1) : probabilité d'être employé avec un diplôme en gestion = 0,2

p(E2) : probabilité d'être employé sans diplôme en gestion = 0,8

p(A/E1) ; probabilité d'avoir un diplôme de gestion et d'être un cadre = 0.7

p(A/E2) : probabilité de ne pas avoir de diplôme et d'être un cadre =0,15

p(E1/A) : probabilité d'être un cadre avec un diplôme de gestion = p(E1∩A)/p(A) = p(A/E1)*p(E1)/p(A)

p(A) : probabilité d'être un cadre = p(E1∩A) + p(E2∩A)

D'où p(E1/A) = p(A/E1) * p(E1) / (p(E1∩A) + p(E2∩A))

Ou encore : p(E1/A) = p(A/E1) * p(E1) / ((p(A/E1) * p(E1) + (p(A/E2) * p(E2))

Donc p(E1/A) = 0.7 * 0.2 / ((0.7 * 0.2) + (0.15 * 0.8)) = 0.5384